Из истории числа .Пи.

Число "пи" () выражает отношение длины окружности к своему диаметру. В этом качестве оно известно человеку с древнейших времен.

В Древнем Египте полщадь круга диаметром d определяли как (d - d/9)².. Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число "пи" считали равным дроби (16/9)² , или 256/81, т.е. = 3.160...

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавшей в Индии и возникшей в VI веке до н.э.) имеется указание, из которого следует что число "пи" в то время принимали равным , что дает дробь 3.162...

Древние греки Евдокс, Гиппократ и др. измерение окружности сводили измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Однако, здесь их ожидали необьяснимые (с их точки зрения) трудности. Действительно, поскольку все построения выполнялись с помощью циркуля и линейки, все их попытки сводились к выражению отношения длины окружности к диаметру (т.е. числа "пи") рациональным числом, и поэтому заранее были обречены на провал.

Постепенно древние ученые поняли бесплодность подобных попыток и стали искать другой к подход к столь важной практической и теоретической проблеме.

Так Архимед, в III в до н.э. обосновал в своей работе "Измерение круга" три положения:

Последнее. предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Таким образом с одной стороны Архомед определил, что =3.1419..., а с другой, он фактически создал понятие приближенного вычисления, и определил алгоритм приближенного вычисления числа пи. Впоследствии, практически все ученые древнего мира использовали аналогичный алгоритм в своих уточнениях числа "пи".

Так в Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу "пи" - 355/113.

В V веке н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение =3.1416927...

В превой половине XV в. н. э. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил число "пи" с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошел до многоугольника, имеющего 3*2²⁸ углов.

Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашел число "пи" только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что число "пи" можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять с какой угодно точностью. Однако только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойден.

Первым ввел обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "периферия", что в переводе означает "окружность". Введенное У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введенным символом впервые в 1736 году.

Поиски точного выражения числа продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кельна Лудольф ван Цейлен(Кейлен) нашел 32 правильных знака. С тех пор (1615г.) значение числа "пи" с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.

В конце XVIII в А.М. Лежандр на основе работ И.Г. Ламберта доказал, что число иррационально. Затем (в 1882 году) немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на исследования Ш Эрмита, нашел строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения.

В практических расчетах этого времени часто   применялось приближенное значение . После доказательства трансцендентности числа "пи" стало ясно, что его нельзя выразить подобными формулами.

К концу. XIX в., после 20 лет работы, англичанин Вильям Шенкс нашел 707 знаков числа . Однако в 1945 году обнаружено с помощью ЭВМ что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие вычисления оказались неверными.

После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислять "пи" приемами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Так к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов.

Так Г.Лейбниц(1646-1716) получил в 1674г. ряд ,который дал возможность вычислить "пи" более коротким путем, нежели Архимед. Все же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчетов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctg(x), т.к.. и следовательно: Частичные суммы этого ряда можно вычислять по формуле , при этом "пи" будет ограничено двойным неравенством:. S_2n < п < S_2n+1^.

Еще более удобную формулу для вычисления получил Дж.Малчин. Пользуясь этой формулой, он вычислил "пи" (в 1706г.) с точностью до 100 верных знаков.

В настоящее время с помощью ЭВМ число вычислено с точностью до миллионов знаков.